Fråga Lund svarar på min formelfråga

Jag var inne på Fråga Lunds sida nyss och såg att de svarat på min formelfråga som jag tidigare tagit upp här och här.



---



Man måste veta vad som menas med summan av oändligt många tal. Den vanliga definitionen är att serien a1 + a2 + a3 + ... är konvergent med summan s om den ändliga summan sn = a1 + a2 + ... + an har gränsvärdet s då n --> oo. Om gränsvärde saknas säges serien vara divergent och har ingen summa. Det är sant att den senare, så kallade harmoniska serien är divergent. Det betyder, eftersom termerna är positiva, att sn = 1/1 + 1/2 + ... + 1/n --> oo då n --> oo men det följer inte av ditt resonemang. T ex är serien 1/12 + 1/22 + 1/32 + ... konvergent med summan pi2/6. För att visa att den harmoniska serien är divergent kan man titta på delsummor av formen sn, där n = 2k. Vi kan då gruppera termerna på följande sätt:

sn = 1 + (1/2) + (1/3 + 1/4) + (1/5 + 1/6 + 1/7 + 1/8) + ... + (1/(2k - 1 + 1) + ... + 1/2k).

I varje parentes finns det 2j - 1 termer och den minsta är 1/2j. Summan i varje parentes är alltså större än eller lika med 2j - 1/2j = 1/2. Eftersom antalet parenteser är k så är sn >= 1 + k/2 då n = 2k. Eftersom sn är växande så är sn >= 1 + k/2 då n >= 2k, vilket visar att sn --> oo då n --> oo.






Andra blogganteckningar i kategorin Matematik.

Tisdag 2003-09-09 11:30
Inga kommentarer

Skriv en kommentar
Namn:
Epostadress:
URL till din hemsida:
Hemsidans namn:
Fyll i
alfabetets
sista bokstav:

Använd inte A HREF-taggen för att länka!
Om du inleder url:en med http:// så blir den automatiskt en länk.

Kom ihåg min info