Förklaring till formelfrågan från i måndags

Jag fick svar på frågan om formeln 1+1/2+1/3+1/4+1/5...+1/n där n är oändligt och som jag skrivit om tidigare. Jag mailade Fråga Kristianstad om matematik för någon dag sedan och fick alltså svar idag. Det lyder så här:

"Både 1+2+3+4+5…+n och 1+1/2+1/3+1/4+1/5+…1/n går mot oändligheten då antalet termer blir oändligt många. Skillnaden är att den första gör det
fort medan den andra gör det mycket långsamt.

För att inse att 1+1/2+1/3+1/4+1/5+1/6+1/7+1/8+1/9+… går mot oändligheten kan man gör på följande vis:

Termerna kan grupperas
1+1/2+(1/3+1/4)+(1/5+1/6+1/7+1/8)+(1/9+1/10+…+1/16)+(1/17+1/18+…+1/32)

1/3+1/4 > 2*1/4 = 1/2
1/5+1/6+1/7+1/8 > 4*1/8 = 1/2
1/9+1/10+1/11+…+15+1/16 > 8*1/16 = 1/2
1/17+1/18+1/19+…+1/31+1/32 > 16*1/32 = 1/2
osv.

Ersätt nu varje parentes med 1/2. Det ger att 1+1/2+1/2+1/2+1/2+1/2 <
1+1/2+(1/3+1/14)+(1/5+1/6+1/7+1/8)+(1/9+1/10+…+1/16)+(1/17+1/18+…+1/32)

När antalet termer blir oändligt många går 1+1/2+1/2+1/2+1/2+1/2+… mot
oändligheten och därmed även 1+1/2+1/3+1/4+1/5+1/6+1/7+1/8+1/9+…

Anm:
1+1/2+1/3+1/4+1/5+1/6+1/7+1/8+1/9+… kallas för en harmonisk serie och man
säger att den divergerar när antalet termer blir oändligt många."


Eftersom det tog en liten stund innan jag fattade exakt vad som menas så ska jag försöka förklara.

Om man tar ur delsummor så får man fram följande:

1/3 + 1/4 är större än 1/2
1/5 + 1/6 + 1/7 + 1/8 är större än 1/2
1/9 + 1/10 +...+1/16 är större än 1/2

Om man sätter in 1/2 istället för de tal jag skrivit ovan så får man alltså ett tal som är mindre än talet vi är ute efter, och eftersom detta tal (1+1/2+1/2+1/2+1/2...) är oändligt så blir så klart alla tal som är större också oändligt.

När man ska byta ut 1/3 + 1/4 osv så dubblar man antalet termer varje gång. Alltså tar man två termer första gången (1/3+1/4), fyra nästa gång (1/5+1/6+1/7+1/8), åtta nästa gång osv.

Klarnar det för er andra också nu? :)

Andra blogganteckningar i kategorin Matematik.

Torsdag 2003-09-04 19:27
Skriv en kommentar!

Kommentarer:



10. Mats Andersson (Klocklös i Tiden)

Simon: Tack för länken, ska kika mer noggrant när jag har bättre tid än jag har nu.

2003-09-08 09:12

9. Simon Zetterberg

Hej! Fullkomligt solklart!
Ni som är intresserade av matte så kan jag rekomendera denna sidan, den är ganska rolig.
http://www.math.su.se/matematik/exempel/grundvalar/storsta_tal.html
/Simon

2003-09-08 08:46

8. Mats Andersson (Klocklös i Tiden)

Eja: En anledning så god som någon. :)

2003-09-06 13:10

7. Eja (IggeoEja)

Men...jag ljuger ju inte, så vaför ha en ljugarbänk ? Jo, för att dölja att jag inget matteproffs är.

2003-09-06 12:06

6. Mats Andersson (Klocklös i Tiden)

David: Lustigt, det har jag inte tänkt på! Det är nog något fel som är trasigt i nån bugg.

Håkan: Jo, visst blir det lättare att se mönster och inse logik i till synes ologiska formler ju mer man kan. Du tror inte på jantelagen? Hoho, kika på min antijante-sida så ser du en som inte heller gör det. :)

2003-09-04 22:23

5. Håkan (eye of the håk)

Mats: Man får lära sig av mästarna. Jag tror att ju fler såna här tricks man får se, desto lättare blir det när man ska komma på nåt själv nån gång.

Eller så är du och jag helt enkelt inte av den rätta kalibern. Men jag tror inte på jantelagen. ;-)

2003-09-04 21:57

4. David Pettersson (Månhus Beta)

Den där frågesidan är ju tom. Har de inte lagt ut några frågor sedan 1998?

2003-09-04 21:30

3. Mats Andersson (Klocklös i Tiden)

Eja: Du är bänkbyggarproffs! Det är bättre det, matte kan man inte sitta och ljuga på. :)

Håkan: Ja, men hur kommer man på det om man är en vanlig glad sifferamatör? :)

2003-09-04 21:20

2. Eja (IggeoEja)

Öhhh??? Är inget matteproffs. Kanske proffs, men inte matte!

2003-09-04 21:06

1. Håkan (eye of the håk)

A-ha! Vad smart!

2003-09-04 21:01

Skriv en kommentar
Namn:
Epostadress:
URL till din hemsida:
Hemsidans namn:
Fyll i
alfabetets
sista bokstav:

Använd inte A HREF-taggen för att länka!
Om du inleder url:en med http:// så blir den automatiskt en länk.

Kom ihåg min info