Matematik

Att summan av alla tal (1+2+3+4....+n) är oändligt råder det väl ingen större tvekan om, men hur är det med formeln 1/1+1/2+1/3+1/4+....1/n? Är summan av dessa tal oändlig?

Andra blogganteckningar i kategorin Matematik.

Måndag 2003-09-01 18:13
Skriv en kommentar!

Kommentarer:



13. Mats Andersson (Klocklös i Tiden)

Tack för svaret, Martin!
Fast i stort sett samma information fick jag via Fråga Kristianstad om matematik vilket jag skriver om i anteckningen Förklaring till formelfrågan från i måndags.

2003-09-08 20:11

12. Martin Norbäck

Det är lätt att visa att serien divergerar, dvs att det inte finns ett gränsvärde.

Det går att få ett hur stort tal som helst genom att ta ett ändligt antal tal i denna serie. Det inses lätt genom att dela in serien i grupper av tal vars summa är större än 1/2.

1/1 > 1/2
1/2 >= 1/2
1/3 + 1/4 > 1/4 + 1/4 = 1/2
1/5 + 1/6 + 1/7 + 1/8 > 1/8 + 1/8 + 1/8 + 1/8 = 1/2
1/9 + ... + 1/16 > 8 * 1/16 = 1/2
osv.

Det blir ett stort antal tal i summorna efter ett tag, men det går alltid att komma över 1/2.

Slutsatsen är att det går att summera ihop till ett hur stort tal som helst. Vill man komma över talet N får man ta i storleksordningen (2N)^2 termer.


2003-09-08 14:31

11. Mats Andersson (Klocklös i Tiden)

Så säger mitt sunda förnuft också. Detta gäller ju t.ex 1/1! + 1/2! + 1/3!...1/n! där n! förstås är fakulteten. (Svaret blir e eller ungefär 2.71.)

Men samtidigt undrar jag om det går att få fram ett sådant värde för formeln 1/1+1/2+1/3...+1/n.

Enligt Fråga Lunds hemsida så började man ta emot frågar igen efter sommaruppehållet igår, samma dag som jag skickade min fråga. Det ska bli intessant att se svaret.

2003-09-03 09:09

10. Håkan (eye of the håk)

Så här tror jag:

Serien 1/1 + 1/2 + 1/3 ... borde nå ett gränsvärde, eftersom vi till slut lägger till så extremt pyttesmå värden, att det inte påverkar det stora hela. Säger någon emot detta?

Fråga Lund har inte börjat efter sommarlovet än, så det kanske dröjer att få svar av honom.

2003-09-02 23:38

9. Mats Andersson (Klocklös i Tiden)

Jag kunde inte låta bli. Jag skickade frågan till Fråga Lund.

2003-09-02 20:48

8. Mats Andersson (Klocklös i Tiden)

Jag får inte ihop det! Det måste vara oändligt! Men eftersom lim (n->infinity) (1+2+3+4+5....+n) ökar med n samtidigt som lim (n->infinity) (1/1)+(1/2)+(1/3)...+(1/n) ökar med 1/n så kan ju 1/n INTE vara oändligt!

Det måste vara oändligt, men det kan inte vara oändligt!

Hjälp?



2003-09-02 20:35

7. Håkan (eye of the håk)

Jag och Niklas tänker på samma sak, alltså när man lägger ihop en halv, en halv av en halv, en halv av en halv av en halv etc.

Gränsvärdet för denna serie är 1! (2 om man tar med 1/1). Alltså:

lim (x->infinity) 1 + 1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/6 ... + 1/2x

2003-09-01 23:34

6. Håkan (eye of the håk)

Så går det när man inte prövar, och litar på sin teoretiska intuition. ;-)

Doh!

2003-09-01 23:23

5. Göran H (Nästan som jag...)

Jo, jag tror det. En googling ger bl a http://mathworld.wolfram.com/HarmonicSeries.html
och http://www.jimloy.com/algebra/hseries.htm,
där det också visas på ett rätt elegant sätt:

S=1+(1/2)+(1/3+1/4)+(1/5+1/6+1/7+1/8)+(1/9+...
Consider this series:
T=1+(1/2)+(1/4+1/4)+(1/8+1/8+1/8+1/8)+(1/16+...
T T=1+1/2+1/2+1/2+... which is infinite for infinitely many terms.
So S must also be infinite.


2003-09-01 23:06

4. Mats Andersson (Klocklös i Tiden)

Håkan: Nja, två är lite väl lite... Redan vid 1/11 passeras tre. Alltså även om du inte räknat 1/1 så tar det bara 11 tal att nå två.

2003-09-01 22:32

3. Niklas Johansson (Enkelriktat)

Det där verkar vara lite grand som pilen som hela tiden färdas hälften av avståndet den har kvar och aldrig borde komma fram. Fast det gör den ju, mot alla odds. :-)

Vänliga hälsningar

Niklas

2003-09-01 22:08

2. Håkan (eye of the håk)

Ehm, Göran, är du säker?

Jag har ett vagt minne av att

lim (x->infinity) (1/1)+(1/2)+(1/3)...+(1/x) = 2

Alltså, att du kommer godtyckligt nära 2, ju fler termer du lägger till.

Men jag har inte skillzen att bevisa detta. Om någon annan vill bevisa, eller motbevisa mig vore det ballt, dock.

2003-09-01 21:59

1. Göran H (Nästan som jag...)

Summan brukar väl kallas en harmonisk serie (harmonisk summa?). När n går mot oändligheten går även summan mot oändligheten. (Kan nog bevisas med Cauchys integralkriterium...?)

2003-09-01 21:43

Skriv en kommentar
Namn:
Epostadress:
URL till din hemsida:
Hemsidans namn:
Fyll i
alfabetets
sista bokstav:

Använd inte A HREF-taggen för att länka!
Om du inleder url:en med http:// så blir den automatiskt en länk.

Kom ihåg min info