Ännu ett verklighetesexempel

Jag skrev tidigare om hur man räknade ut antalet kort i ett korthus och tänkte nu ta upp ett annat exempeenl ur verkligheten.



För 15-20 år sedan spelade jag ett yatzyliknande spel med sex tärningar tillsammans med mina bröder och några kusiner.



Vid ett tillfälle fick jag sexor på tre av de sex tärningarna. Andra gången jag slog (jag sparade mina sexor och slog de tre övriga tärningarna en och en (för spänningens skull)) och lyckas få ytterligare tre sexor. Hur liten är sannolikheten för att detta ska inträffa?



Att slå en sexa med EN tärning är så klart en chans på sex. Att slå två sexor med två tärningar är en chans på 6^2=36, att slå tre sexor med tre tärningar är en chans på 6^3=216 osv.



När jag slår tre sexor av sex möjliga så kan man dela upp de sex tärningarna så här.

Först slår jag en sexa = en chans på sex.

Nästa slag blir också en sexa = en chans på 36.

Nu har jag fyra tärningar kvar = fyra chanser på mig att få ytterligare en sexa. Detta kan skrivas som 4*(1/6) = 4/6.



Resultatet blir då att det är 4 chanser på 216 (6*6*6) = 1 chans på 54 att få tre sexor om man slår med sex tärningar. (För att få tre likadana är chansen en på nio (54/6) eftersom det då inte spelar någon roll vad vi får på tärning nummer ett (6/6) så länge tärning nummer två visar samma antal (1/6) och antingen nummer tre, fyra, fem eller sex gör detsamma (4/6). Detta ger 6*1*4 chanser på 6*6*6 eller 24 chanser på 216 vilket förkortat blir en chans på nio, som jag sa.



Så chansen att tre tärningar av sex ska visa sex prickar är 1 på 54. Att sedan få ytterligare tre sexor på tre kast blir då en chans på 54*6*6*6 eller en chans på 11664.



Du kan ju roa dig med att räkna med tärningar själv. Hur stor är chansen att du med sex tärningar får ett, två, tre, fyra, fem och sex. Vilken ordning spelar ingen roll.



UPDATE!

Svaret ges i kommentarerna till den här anteckningen.



Andra blogganteckningar i kategorin Matematik/Statistik.

Lördag 2003-08-09 01:01
Skriv en kommentar!

Kommentarer:



14. Mats Andersson (Klocklös i Tiden)

okej, då blir det till att fortsätta försöka komma ihåg att kolla hakank.blogg manuellt då. Nä, dags för en dagnamnssökning igen. Imorgon kommer resultatet.

2003-08-13 17:50

13. Håkan Kjellerstrand (hakank.blogg)

Har nu testat manuellt ping men det funkar inte heller. Det är troligen samma problem som med autoping (vad nu det är för problem). :-(

2003-08-13 17:48

12. Mats Andersson (Klocklös i Tiden)

Manuell ping är inte att förakta. Jag använder det och det funkar jättebra.

2003-08-13 11:13

11. Håkan Kjellerstrand (hakank.blogg)

Vet tyvärr inte, men Torgny är inkopplad. Jag får snart börja fundera på "Manuell ping"...




2003-08-12 22:38

10. Mats Andersson (Klocklös i Tiden)

Kalas! När dyker du upp på weblogs.se igen?

2003-08-12 21:51

9. Håkan Kjellerstrand (hakank.blogg)

Som utlovat har jag skrivit en förklaring till R-programmen.Se

http://www.hakank.org/webblogg/archives/000106.html

Hör av dig/er om det är konstigheter eller undringar.

2003-08-12 21:36

8. Mats Andersson (Klocklös i Tiden)

Egentligen kan man ju inte använda felprocent inom statistik eftersom det mest osannolika egentligen är om det stämmer exakt med 1/46656 om man gör uppgiften i verkligheten.

Visst är jag intresserad av en förklaring. Det verkar inte vara för komplicerat.

2003-08-09 17:58

7. Håkan Kjellerstrand (hakank.blogg)

Mats inlägg 3: Visst är det 7% differens. Men ser man det som 0.000023 mot det korrekta 0.0000214 så är det nog tillräckligt bra precision för praktiskt bruk (det beror naturligtvis på). Kör man flera omgångar, vilket alltid är en god idé, får man olika värden så att man ser spannet av lösningar.

Här är f.ö. den justerade varianter av 1:6-problemet där ordningen inte spelar någon roll. Det löste sig enkelt genom att lägga till en sortering. (Det ska egentligen vara på en rad)

sum(sapply(1:100000, function(x) all(sort(sample(1:6,6, replace=T))==1:6)))/100000

Just denna körning gav 0.01527 som resultat vilket inte är så pjåkigt jämfört mot 720/46656 ~ 0.0154321.

Man behöver inte skriva det som en one-liner utan kan skriva det betydligt mer läsligt. Men jag råkar vara van att göra dessa simuleringar på ovanstående form.

Om du är intresserad förklarar jag gärna mer utförligt vad de olika funktionerna gör.




2003-08-09 17:28

6. Mats Andersson (Klocklös i Tiden)

Svaret på frågan om att få kombinationen 1,2,3,4,5,6 (i vilken ordning som helst) om man slår sex tärningar:



6/6 * 5/6 * 4/6 * 3/6 * 2/6 * 1/6 = 720/46656 vilket om man förkortar ger 5/324 eller ungefär 1 chans på 65.

2003-08-09 14:10

5. Mats Andersson (Klocklös i Tiden)

Andreas:
Din lärare har helt rätt. Naturligtvis har slumpen inget minne. Bara för att du slagit tärningarna 46655 gånger utan att få först en ett, sedan två, osv som i Håkans exempel nedan, så betyder det ju inte att nästa slag måste bli så.

Men att alla kombinationer skulle vara lika sannolika tror jag inte på.
Om du t.ex ska få kombinationen 2,2,3,5,5,6 så kan man räkna så här:

Första tärningen kan antingen bli 2,3,5 eller 6 vilket ger 4 chanser av 6 (4/6)



Hur man räknar sedan för att få rätt vet jag inte eftersom det skiljer sig om man sedan får 2 eller 5 (som man ska få två gånger) eller 3 eller 6 (som man bara ska få en gång).

Kanske Håkan kan hjälpa till?

2003-08-09 14:04

4. Andreas (version noll)

Herrejösses vilka matematiska beräkningar :-)
En lärare jag hade en gång i urtiden sa att "Slumpen har inget minne". Han pratade om något liknande och enligt hans definition är det lika stor sannolikhet att få ex sex sexor som en blandad kompott.
Jag är dålig på sådana här saker, men jag tycker det är en intressant tanke.

2003-08-09 13:46

3. Mats Andersson (Klocklös i Tiden)

Jo, nog var det sant alltid. Kände att jag inte borde ha skrivit anteckningen förrän jag var pigg, men jag kunde ju inte låta bli, men när jag kikar på det i lite piggare tillstånd verkar det ändå stämma.

Jag förstår hur du kommit fram till svaret, men formeln har en del för mig okända uttryck. Enligt din provkörning blir svaret ungefär en chans på 43478 medan det exakta svaret (vilket du så klart redan räknat ut) är en chans på 6^6 (46656). Men 7%´s fel är väl inget att bråka om i sammanhanget? :)

2003-08-09 13:35

2. Håkan Kjellerstrand (hakank.blogg)

Och det är naturligtvis så sent att jag missade "Vilken ordning spelar ingen roll".

2003-08-09 01:46

1. Håkan Kjellerstrand (hakank.blogg)

Om man som jag är en lat människa kan man lösa slika problem genom att simulera det för att få en approximering (vilket även är bra om man vill kontrollera sina svar). I R (http://www.r-project.org/) skriver man det sista problemet (1,2,3,4,5,6) på följande kärva sätt:

sum(sapply(1:1000000,function(x)all(sample(1:6,6,replace=T)==1:6)))/1000000

vilket ger 2.3e-05, dvs .000023

Ovanstående one-liner samplar helt enkelt talen 1:6 1000000 gånger, och räknar de gånger då ordningen är exakt 1,2,3,4,5,6. Sedan delar man resultatet (här 23) med antalet körningar.

Kan vara lämpligt för mer komplicerade problem.



2003-08-09 01:38

Skriv en kommentar
Namn:
Epostadress:
URL till din hemsida:
Hemsidans namn:
Fyll i
alfabetets
sista bokstav:

Använd inte A HREF-taggen för att länka!
Om du inleder url:en med http:// så blir den automatiskt en länk.

Kom ihåg min info